Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 13
Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen.
Definition V.1 : (Abbildung
)
- Eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene eindeutig einen Bildpunkt P' zuordnet, nennt man Abbildung.
- Schreibweise: Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): P'=\varphi\(P)
- Eine Zuordnung, die jedem Punkt P der Ebene eindeutig einen Bildpunkt P' zuordnet, nennt man Abbildung.
Definition V.2 : (involutorische Abbildung)
- Eine Abbildung
, die bei zweifacher Ausführung (
) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
- Eine Abbildung
Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung
)
- Gegeben sei eine Gerade g in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung
ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt P seinem Bildpunkt P' zuordnet.
- Gegeben sei eine Gerade g in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung
-
-
mit
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt P bzw. die Gerade g um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen.
Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt?
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild):
Definition V.4 : (Fixpunkte)
- Wenn bei einer Abbildung
ein Bildpunkt P' mit seinem Urbild P zusammenfällt (P wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt P Fixpunkt der Abbildung
.
- formal:
- Wenn bei einer Abbildung
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte?
- Alle Punkte der Geraden P sind Fixpunkte
Definition V.5 : (Fixgerade)
- Wenn bei einer Abbildung
eine Bildgerade g' mit ihrem Urbild g zusammenfällt, dann heißt g Fixgerade der Abbildung
.
- Wenn bei einer Abbildung
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?
- Die Fixgeraden sind senkrecht auf g bzw. parallel zur Gerade von P
Definition V.6 : (Fixpunktgerade)
- Wenn jeder Punkt P einer Fixgeraden g auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade g auch Fixpunktgerade.
- Wenn jeder Punkt P einer Fixgeraden g auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade g auch Fixpunktgerade.
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.?
- Die Fixpunktgerade ist in diesem Fall die Spiegelachse
Eigenschaften einer Geradenspiegelung
- abstandserhaltend: Der Abstand
zweier Bildpunkte A und B ist gleich dem Abstand
der beiden Urbilder A und B.
- winkelmaßerhaltend: hier gilt analog:
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten.
Satz V.1 :
Die Geradenspiegelung ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt:
Beweis:
Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung
):
Bei der Geradenspiegelung wird eine Strecke
auf eine Strecke
abgebildet. Dabei gilt:
und
.
Beweis:
Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung
):
Die Länge der Strecke , die bei der Geradenspiegelung
entsteht ist gleich der Länge der Strecke
.
Beweis:
Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung
):
Bei der Geradenspiegelung wird eine Halbgerade
auf eine Halbgerade
abgebildet. Dabei gilt:
und
.
Beweis:
Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung
):
Bei der Geradenspiegelung wird eine Gerade
auf eine Gerade
abgebildet. Dabei gilt:
und
.
Beweis:
Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung
):
Bei der Geradenspiegelung wird ein Winkel
auf einen Winkel
abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein.
Beweis:
Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung
):
Bei der Geradenspiegelung werden zueinander parallele Geraden
und
auf zwei zueinander parallele Geraden
und
abgebildet.
Beweis: siehe Zusatzaufgabe Übung 9