Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

Voraussetzung	$Sg$ mit $A'= Sg (A)$ und $B' = Sg (B)$ und $P \in AB^{+}$
Behauptung	$Sg (AB+) = A'B'^{+}$ d.h. $P' \in A'B'^{+}$

Beweisschritt	Begründung
1 $P \in AB^{+}$	Voraussetzung
2 $P \in \ \ \overline{AB} \cup \{P|ZW (A,B,P)\}$	1), Def Halbgerade
3 $P \in \overline{A'B'}$	Streckentreue
4 $P \in \overline{AB} + \overline{BP} = \overline{AP}$	Def Zwischen
5 $P \in \overline{A'B'} + \overline{B'P'} = \overline{A'P'}$	Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
6 $P' \in \ \ \overline{A'B'} \cup \{P'|ZW (A',B',P')\}$	Def Zwischen 3), 5)
7 $P' \in A'B'^{+}$	Def Halbgerade 6)

--Regenschirm 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST) Die Beweisidee und Schritte sind super. Es fehlen noch ein paar Striche und Klammern, damit der Beweis auch ganz richtig ist.--Tutorin Anne 15:18, 26. Jun. 2013 (CEST)

Voraussetzung:
AB+ ≔ {P | Zw(A,P,B) ∧ Zw(A,B,P)} ∪ {A,B}
mit A ≠ B, A,B ∈ Ebene E

A͞B := {P | Zw(A,P,B)} ∪ {A,B}
mit A ≠ B, A,B ∈ Ebene E
--Nolessonlearned 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)

Behauptung: AB+ ≌ A'B'+
--Nolessonlearned 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)

	Beweisschritt	Begründung
1)	B'= Sg(B)	Eigenschaft d. GS
2)	A'= Sg(A)	Eigenschaft d. GS
3)	$\ \overline{AB} \ \tilde {=} \ \overline{A'B'}$	(1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. GS
4)	$\overline{AB}\ ist\ Teilmenge\ von \ AB^{+}$	Voraussetzung; Def. Halbgerade
5)	$Element$	(1); (2); (3); Voraussetzung; Def. Halbgerade; Streckentreue d. GS
6)	$Element$	(4); (5); q.e.d.

--Nolessonlearned 18:57, 14. Jul. 2013 (CEST)