Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 13)

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.

Voraussetzung	$\angle ABC, Sg(A)=A', Sg(B)=B', Sg(C)=C'$
Behauptung	$Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'$

Beweisschritt	Begründung
1 $\angle ABC = \ BA^{+} \cup \ BC^{+}$	Voraussetzung, Def. Winkel
2 $Sg(\ BA^{+} ) = \ B'A'^{+} \wedge Sg (\ BC^{+} ) = \ B'C'^{+}$	Halbgeradentreue, 1)
3 $\angle A'B'C' = B'A'^{+} \cup B'C'^{+}$	Def Winkel, 2)
4 $|\angle ABC| = |\angle A'B'C'|$	Winkelmaßerhaltend
5 $Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'$	1)2)4)

--Regenschirm 18:13, 25. Jun. 2013 (CEST)

Der Beweis ist korrekt.--Tutorin Anne 15:16, 26. Jun. 2013 (CEST)

Voraussetzung:
$\angle ABC\ mit\ \ BA^{+}\ \cup\ \ BC^{+}\$ $mit\ A,B,C \in\ \epsilon$

Behauptung: $\angle ABC\ \tilde {=}\ \angle A'B'C'$

	Beweisschritt	Begründung
1)	A' = Sg(A)	Eigenschaft d. GS
2)	B' = Sg(B)	Eigenschaft d. GS
3)	C' = Sg(C)	Eigenschaft d. GS
4)		(1); (2); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
5)		(2); (3); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
6)	$\left| \angle ABC\ \right|\ =\ \left| \angle A'B'C'\ \right|$	(4); (5); Winkelmaßerhaltung d. GS;
7)	$\angle ABC\ \tilde {=} \ \angle A'B'C'$	(4); (5); (6); Winkelkongruenz q.e.d.

--Nolessonlearned 13:27, 15. Jul. 2013 (CEST)