Lösung von Aufg. 12.04 SoSe 13

Aufgabe 12.04 Die Gerade $t$ sei Tangente an den Kreis $k$ (Mittelpunkt $M$) im Punkt $B$. Beweisen Sie: $t \perp \overline{MB}$. Lösung Annahme: $t \not \perp \overline{MB}$. Nach der Existenz des Lotes von $M$ auf $t$ muss es jetzt eine Strecke $\overline{MA}$ geben, die das Lot von $M$ auf $t$ ist. Selbstverständlich ist $A$ verschieden von $B$, da ansonsten $t \perp \overline{MB}$ gelten würde. Weil $t$ Tangente an $k$ ist, kann $A$ nicht zu $k$ gehören. Fall 1: $A$ liegt außerhalb von $k$. Der Abstand von $A$ zu $M$ ist nun größer als der Radius $|\overline{MB}|$. $\overline{MB}$ liegt jedoch in $\overline{MAB}$ dem rechten Winkel gegenüber und muss demzufolge die längst der Seiten von $\overline{MAB}$ sein. Fall 2: $A$ liegt innerhalb von $k$. Wir tragen auf $AB^-$ die Länge $|AB|$ ab und erhalten auf $t$ den Punkt $B^*$. Wegen $\overline{AB}\ \tilde= \overline{AB^*}$ und $MA \perp t$ ist $MA$ die Mittelsenkrechte von $\overline{BB^*}$. Wegen des Mittelsenkrechtenkriteriums muss jetzt $\overline{MB} \tilde= \overline{MB^*}$ sein. Da nun $\overline{MB}$ ein Radius von $k$ ist, muss auch $B^*$ zu $k$ gehören. Damit hätte $t$ zwei verschiedene Punkte mit $k$ gemeinsam, was im Widerspruch dazu steht, dass $t$ Tangente an $k$ ist. Zurück zu: Serie 12 SoSe 2013