Lösung von Aufgabe 7.1

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.

Lösung --Schnirch 10:03, 1. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset AB^+$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^* \in AB^+$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$	Axiom III.1
(I)	$\overline{AB^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(II)	$\left| AB^{*} \right| > \left| AB \right|$	Rechnen in $\mathbb{R}$ und $\pi$ > 1
(III)	$\operatorname{Zw} \left( A, B, B^* \right)$	(III), Def. Zw
(VI)	$\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$	(IV)

vorangegangene Diskussion

mal ein Anfang:
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$
Es müssen zwei Beweise geführt werden:
1. Existenz
2. Eindeutigkeit

Beweis 1:

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. d $\in \mathbb{R}^+$: d= $\left| AB \right|$	Axiom II.1
(II)	es ex. d*$\in \mathbb{R}^+$: d*= $\pi \left| AB \right|$ =$\left| AB^{*} \right|$	Axiom II.1, Rechnen in $\mathbb{R}$
(III)	d < d*	$\pi$ und d sind positiv
(VI)

Irgendwie verstricke ich mich. Wer mag weitermachen, oder neu anfangen? --Maude001 17:21, 11. Jun. 2010 (UTC)