Übung 03.02.

Bemerkung

Wir werden nicht alle Aufgaben ausführlich besprechen können. Bereitet euch inhaltlich auf die Übung vor, sodass wir die Aufgaben durchgehen können und ausgewählte davon besprechen, die anderen ggf. Lösungen vergleichen. Das bedeutet: Versucht euch die Lösungswege aller Aufgaben klarzuwerden, sodass wir darüber reden können. Wir werden nicht alle einzelnen Rechenschritte durchgehen.

Aufgabe 1

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren $v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)$ und $v_3 = (3,4,5)$ ein Erzeugendensystem von${\mathbb R}^3$ bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche $t \in {\mathbb R}$ die Vektoren $v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)$ linear abhängig in ${\mathbb R}^3$ sind.

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}$ und $\vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix}$ linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

Aufgabe 3

Geben Sie zu folgenden Polynomen die Linearkombination (bzw. die Koordinaten) bzgl folgendem Erzeugendensystems $E=\{p_1(x)=x^2, p_2(x)=x+1, p_3(x)=x^2+x\}$ an.

a) $q_1(x)=x^2+5x+3$
b)$q_2(x)=(x-3)^2$
c)$q_3(x)=x^2-5$

Aufgabe 4

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
$X=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.$
Gilt $<X>=\mathbb{R}^4$?

Aufgabe 5

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}$
b)$\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}$

Aufgabe 6

Konstruieren Sie eine Basis für den von $v_1 = (1,-2,0,1)\,,\;\, v_2 = (0,0,2,5)\,, \;\, v_3 = (-2,4,2,3)$

erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von ${\mathbb R}^4$.