Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 15 16)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

a) 1. Der erste Beweis ist nicht korrekt. Hier wird angegeben, dass mit dem Basiswinkelsatz bewiesen wird. Jedoch wird von der Kontraposition Umkehrung gesprochen und somit nicht direkt vom Basiswinkelsatz. 2. Dieser Beweis ist richtig. Die Umkehrung wird gebildet und dann die Kontraposition, sodass bewiesen werden kann, dass |α| ≠ |β| ist. BWS: |AC| = |BC| -> |α| = |β| Umk. BWS:|α| = |β| -> |AC| = |BC| Kontr. Umk. BWS: |AC| ≠ |BC| -> |α| ≠ |β|

b) Voraussetzung: |AC|< |BC| < |AB| Behauptung: |α| ≠ |β| Annahme: |α| = |β|

Beweisschritt und Begründung 1. |α| = |β|; Annahme 2. wenn |α| = |β|, dann |AC| = |BC| ; 1), Umk. des BWS 3. Widerspruch zur Voraussetzung; 2), Voraussetzung 4. Behauptung stimmt; 3)--Mel123 (Diskussion) 15:38, 15. Nov. 2015 (CET)