Lösung von Aufgabe 1.1 (WS 16 17)

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.

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Kurz gesagt $A = B$.

Beweis

Zu beweisen ist, dass gilt: $x \text{ ist gerade} \iff x^2 \text{ ist gerade}$

Teil 1

Gezeigt wird $x \text{ ist gerade} \Rightarrow x^2 \text{ ist gerade}$.

Zunächst nehmen wir an, dass $x = 2 \cdot n \text{für} n \in \mathbb{N}$.

Das heißt, dass $x^2 = (2n)\cdot(2n) = 2\cdot(2n^2)$ gilt. Und da $2n^2 \in \mathbb{N}$, ist $x^2$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2$ oder anders ausgedrückt gerade.

Teil 2

Gezeigt wird $x \text{ ist gerade} \Leftarrow x^2 \text{ ist gerade}$.

Sei nun $x^2 = 2 \cdot n$ für $x, n \in \mathbb{N}$.

Damit gilt: $\frac{x \cdot x}{2} = n \iff x \cdot \frac{x}{2} = n$.

Da sowohl $x$ als auch $n$ natürliche Zahlen sind, kann die Gleichung nur wahr sein, wenn $\frac{x}{2}$ auch eine natürliche Zahl ist. $\frac{x}{2}$ wiederum kann nur eine natürliche Zahl sein, wenn $x$ gerade ist.

q.e.d.

--AlanTu (Diskussion) 22:55, 20. Okt. 2016 (CEST)