Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 16 17)

Geben Sie eine andere Schreibweise der folgenden Mengen an und prüfen Sie, welche Mengen identisch sind.

$M_1 = \{x\vert x\in \mathbb{N}\wedge x+2 = 0\}$

$M_2 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}+2 = 0\}$

$M_3 = \{x\vert x\in \mathbb{Z}\wedge x+2 = 0\}$

$M_4 = \{x\vert x\in \mathbb{Q}\wedge x^{2}-2 = 0\}$

$M_5 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x^{2}-2 = 0\}$

$M_6 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge (x+2)^{2} = 0\}$

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$\begin{align} && x+2 & = 0 & \|-2\\ \iff && x & = -2 \end{align}$

$\Rightarrow M_1 = \{x|x\in\mathbb{N}\wedge x = -2\} = \emptyset$        (da $-2\notin\mathbb{N}$)

---

$\begin{align} && x^2+2 & = 0 & \|-2 \\ \iff && x^2 & = -2 & \|\sqrt{\quad} \\ \iff && x & = \pm i\sqrt{2} \end{align}$

$\Rightarrow M_2 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x = \pm \sqrt{2}\cdot i\} = \emptyset$        (da $\pm \sqrt{2}\cdot i \notin \mathbb{R}$)

---

$\begin{align} && x+2 & = 0 & \|-2 \\ \iff && x & = -2 \end{align}$

$\Rightarrow M_3 = \{x|x\in\mathbb{Z}\wedge x = -2\} = \{-2\}$        (da $-2\in\mathbb{Z}$)

---

$\begin{align} && x^2-2 & = 0 & \|+2 \\ \iff && x^2 & = 2 & \|\sqrt{\quad} \\ \iff && x & = \pm \sqrt{2} \end{align}$

$\Rightarrow M_4 = \{x\vert x\in \mathbb{Q}\wedge x = \pm\sqrt{2}\} = \emptyset$        (da $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$)

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$\begin{align} && x^2-2 & = 0 & \|+2 \\ \iff && x^2 & = 2 & \|\sqrt{\quad} \\ \iff && x & = \pm \sqrt{2} \end{align}$

$\Rightarrow M_5 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x = \pm\sqrt{2}\} = \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$        (da $\pm\sqrt{2}\in\mathbb{R}$)

---

$\begin{align} && (x+2)^2 & = 0 & \|\sqrt{\quad} \\ \iff && x+2 & = 0 & \|-2 \\ \iff && x & = -2 \end{align}$

$\Rightarrow M_6 = \{x\vert x\in \mathbb{R}\wedge x = -2\} = \{-2\}$        (da $-2\in\mathbb{R}$)

---

$\Rightarrow M_1 = M_2 = M_4 \text{ und } M_3 = M_6$

--AlanTu (Diskussion) 23:53, 20. Okt. 2016 (CEST)

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--AJWeber (Diskussion) 17:59, 21. Okt. 2016 (CEST)