Mathematische Aussagen
Beispiele
Primzahlen
Es lassen sich z.B. die folgenden Aussagen zu Primzahlen machen:
Aussage |
Wahrheitswert
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Die Zahl ist eine Primzahl. |
wahr
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Die Zahl ist eine Primzahl. |
falsch
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Es gibt unendlich viele Primzahlen. |
wahr
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Es gibt genauso viele Primzahlen wie es natürliche Zahlen gibt. |
wahr.
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Keine Aussage zu Primzahlen ist:
- Jede natürlich Zahl, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist, heißt Primzahl.
Wichtige Sätze der Schulgeometrie
Sätze sind Aussagen, die wahr sind. Eine Aussage, die nicht wahr ist, kann demzufolge auch kein Satz sein.
- Innenwinkelsatz für Dreiecke: Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist gleich der Größe eines gestreckten Winkels.
- Satz des Pythagoras: In rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
- Starker Außenwinkelsatz: Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel des Dreiecks.
- Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
Ergänzen Sie durch eigene Sätze, die Sie noch aus der Schule kennen:
Begriff der Aussage
Ein sauber Definition des Begriffs mathematische Aussage bleibt uns hier versagt, es reichen intuitive Vorstellungen der folgenden Art:
- Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, welche zur Beschreibung und Mitteilung von Sachverhalten dienen. (Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig)(1983).
Bei einer mathematischen Aussage setzt man zwei Prinzipien voraus:
- Das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten: Eine Aussage ist wahr (1) oder falsch (0).
- Das Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
Beide Prinzipien zusammengefasst:
- Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch.
Weitere Beispiele und Gegenbeispiele für Aussagen
Ergänzen Sie die folgende Tabelle:
keine Aussage |
Aussage
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Gründonnerstag |
Gründonnerstag regnet es immer.
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Ab jetzt heißt Raider Twix. |
Im Januar hat man festgelegt, dass Raider Twix heißt.
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Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ziehen. |
Die Quadratwurzel aus einer nagativen Zahl in in nicht definiert.
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Konstruiere einen Kreis. |
ihr Beispiel
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ihr Beispiel |
ihr Beispiel
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Die Negation einer Aussage
Beispiele
Aussage |
Negation der Aussage
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ist Primzahl |
ist keine Primzahl
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Die Eisernen steigen auf. |
Die Eisernen steigen nicht auf.
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Die Hose ist grün. |
Die Hose ist nicht grün.
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ihr Beispiel |
ihr Beispiel
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ihr Beispiel |
ihr Beispiel
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Wahrheitswerttabelle
Wenn eine Aussage ist, dann ist es üblich, mit die Negation von zu kennzeichnen.
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wahr |
falsch
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falsch |
wahr
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Hinweis: Die LaTex-Syntax für das Zeichen ist \neg.