Serie 1 Gruppendefinition SoSe 2017

Aufgabe 1.1 Algebra SoSe 2017 Formulieren Sie die Definition des Begriffs Gruppe unter Verwendung des Begriffs Halbgruppe. Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016 $D:=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}$, $\forall n \in \mathbb{N} : D^n := \underbrace{D \cdot D \cdot \ldots \cdot D}_{n mal}$, $M:=\left\{D^i|1 \leq i \leq 8 \right\}$. Beweisen Sie: $\left[ M, \cdot \right ]$ ist eine Gruppe. Lösung von Aufgabe 1.2 Algebra SoSe 2016 Aufgabe 1.3. Algebra SoSe 2017 Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente. Es gibt (bis auf Isomorphie) genau 2 Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4. Geben Sie für jede der beiden Gruppen zwei Beispiele an. Definieren Sie was man unter der Klein'schen Vierergruppe versteht. Definieren Sie die andere der beiden Vierergruppen. Aufgabe 1.4 Algebra SoSe 2017 Beweisen Sie: Bis auf Strukturgleichheit gibt es keine weitere Gruppe der Ordnung 4 als die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe der Ordnung 4. Aufgabe 1.5 Algebra SoSe 2017 Bweisen Sie: In jeder Gruppe gilt: Das Linksinverse Element eines Gruppenelements $a$ ist gleich dem Rechtsinversen von $a$. Aufgabe 1.6 Algebra SoSe 2017 Beweisen Sie: Wenn in einer Gruppe $G$ das Element $e$ linksneutral ist, dann ist $e$ in $G$ auch rechtsneutral. Aufgabe 1.7 Algebra SoSe 2017 Beweisen Sie: In jeder Gruppe gibt es genau ein neutrales bzw. Einselement. Aufgabe 1.8 Algebra SoSe 2017 Beweisen Sie: In jeder Gruppe hat jedes Element genau ein inverses Element. Aufgabe 1.9 Algebra SoSe 2017 Beweisen Sie: Wenn $\mathbb{G}:=[G, \odot]$ eine Gruppe ist, dann ist $\mathbb{G}$ ein Monoid, in dem die Gleichung $a \odot x = b$ für alle $a,b \in G$ immer lösbar ist. Aufgabe 1.10 Algebra SoSe 2017 Beweisen Sie: Wenn $\mathbb{G}:=[G, \odot]$ ein Monoid ist, in dem die Gleichung $a \odot x = b$ für alle $a,b \in G$ immer lösbar ist, dann ist $\mathbb{G}$ eine Gruppe.