Lösung von Aufgabe 12.2

Aufgabenstellung

Beweisen Sie:
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Lösung 1

Definition spitzer Winkel: Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel. Definition korrekt? (Diskussion)
Voraussetzung: Dreieck $\overline {ABC}$
Behauptung: o.B.d.A: $|\angle BAC| < 90$ und $|\angle ABC| < 90$
Der Einfachheit halber werden die Winkel mit $\alpha \ \beta \ \gamma$ bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann $\alpha' \ \beta' \ \gamma'$
Behauptung:

(1) $|\alpha| \ < 90$ und $|\beta| \ < 90$

oder (2) $|\alpha| \ < 90$ und $|\gamma| \ < 90$

oder (3) $|\beta| \ < 90$ und $|\gamma| \ < 90$

Indirekter Beweis

(1) $|\alpha| \ \ge 90$ und $|\beta| \ \ge 90$

oder (2) $|\alpha| \ \ge 90$ und $|\gamma| \ \ge 90$

oder (3) $|\beta| \ \ge 90$ und $|\gamma| \ \ge 90$

Anmerkung: Man muss natürlich $\ <$in der Behauptung durch $\ \ge$ in der Annahme ersetzen, denn spitze Winkel sind KLEINER ALS rechte Winkel. Rechte Winkel selbst zählen somit nicht zur möglichen Menge. In der zu widerlegenden Annahme geht man somit von allen möglichen Fälle aus, also auch von dem Fall, dass zwei rechte Winkel in einem Dreieck möglich sind. Somit ist die Umkehrung des Korollars: "In jedem Dreieck gibt es höchstens einen rechten Winkel." Dies wird durch den Beweis gleich mit bewiesen! (Oder doch nicht? --> Diskussion)
Annahme

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Es gilt: $|\alpha| \ < |\beta'|$ und $|\gamma| \ < |\beta'|$	schwacher Außenwinkelsatz
(II)	$|\beta| \ + |\beta'| = 180$	Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
(III)	$\ |\beta'| = 180 - |\beta|$	Algebraische Umformung
(IV)
(VI)
(VII)
(VIII)
(IX)
(X)

--Heinzvaneugen 21:48, 11. Jul. 2010 (UTC)