Lösung von Aufgabe 1.1 (SoSe 17)

Es sei A die Menge der geraden natürlichen Zahlen, B die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade ist. Vergleichen Sie die Mengen.

Ich habe folgende Hypothese aufgestellt, weiß allerdings noch nicht, wie ich sie mathematisch umformuliere: Ich bezeichne als n die ungeraden Zahlen und damit als n+1 die geraden. A: n+1 B: b²= n+1 (b könnte n oder n+1 sein-> also gerade ungerade) Aber: habe festgestellt, dass jede Zahl die ungerade ist, auch deren Quadrat ungerade ist und jede Zahl, die gerade ist, auch deren Quadrat gerade ist) -> somit wäre für mich b nur n+1

Also wären A und B gleiche Mengen -> A=B

Hallo Kissa052,

deine Schlussfolgerung, dass $A = B$ ist, ist vollkommen richtig, jetzt müssen wir das nur noch mathematisch aufschreiben.
Schreibe für eine gerade Zahl $k \ : \ k=2*n$  und für eine ungerade Zahl $l \ : \ l=2*n+1$ mit $n\in\mathbb{N}$. 

Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist dann also $A=\{2,4,6,...\}=\{k\vert k=2*n \ mit \ n\in\mathbb{N}\}$. (bei der Null können wir uns streiten ;P )

Quadriert man eine gerade Zahl, so erhält man wieder eine gerade Zahl, das kann man so zeigen: $k^2 = (2*n)^2 = 4*n^2 = 2*(2*n^2)$. 
Es sei $m=2*n^2$ , somit gilt: $k^2 = 2*m$ , wobei auch $m \in \mathbb{N}$ .

Wie du schon richtig erkannt hast, sind die Quadrate ungerader Zahlen wieder ungerade, kannst du das auf $l$ anwenden? (geht so ähnlich wie oben)

So ist also die Menge der natürlichen Zahlen, deren Quadrate gerade sind $B = \{2,4,6,...\}=\{x \in \mathbb{N} \vert x^2 \ ist \ gerade \}$ . 
Somit gilt für die Mengen $A=B$ , da für deren Elemente $k=x$ gilt. 


--Tutor: Alex (Diskussion) 16:43, 31. Mai 2017 (CEST)