Pfeilklassen SoSe 2017

Aufgabe 1 (Pfeilklassen SoSe 2017) In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Ursprung $O$ seien die Punkte $P\left(\frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)$ und $Q \left(\frac{1}{2}\sqrt{3}, \frac{1}{2} \right)$ gegeben. Bestimmen Sie $\overrightarrow{OP} \oplus \overrightarrow{OQ}$ Berechnen Sie die Länge die jeder Pfeil aus $\overrightarrow{OP} \oplus \overrightarrow{OQ}$ hat. Aufgabe 2 (Pfeilklassen SoSe 2017) Es sei $\overline{ABC}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei $C$.$q$seien wie üblich die Längen der Hypotenusenabschnitte von $\overline{ABC}$. Bestimmen Sie die Koordinaten der Pfeilklassen $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ bezüglich eines Koordinatensystems, dessen Ursprung der Fußpunkt der Höhe $h_c$ ist. Ferner gelte, dass $B$ auf der positiven $x-$Achse und $C$ auf der positiven $y-$Achse liegt. Aufgabe 3 (Pfeilklassen SoSe 2017) Es sei $\overline{ABCD}$ ein Parallelogramm. Beweisen Sie: $\frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \oplus \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} \oplus \frac{1}{2} \overrightarrow{DC}$. Aufgabe 4 (Pfeilklassen SoSe 2017) Beweisen Sie: $\oplus$ ist auf der Menge der Pfeilklassen der Ebene repräsentantenunabhängig. Aufgabe 5 (Pfeilklassen SoSe 2017) Beweisen Sie: Die Pfeilklassen der Ebene bilden mit der Pfeilklassenaddition eine abelsche Gruppe.