Strecken und Halbgeraden SoSe 2017
Strecken, intuitivPunkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen. Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren. Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte). Das Attribut kürzeste deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein. LängenmessungMessen: Andere Länder andere SittenRory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l. Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde. Die Idee der LängenmessungStrecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: ... Der Abstand zweier PunkteDie ersten beiden AbstandsaxiomeAxiom II.1: (Abstandsaxiom)[ www.youtube.com is not an authorized iframe site ]
Definition II.1: (Abstand)
Axiom II.2:[ www.youtube.com is not an authorized iframe site ]
Die DreiecksungleichungSchüler entdecken die DreiecksungleichungDreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren. Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben. Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)
Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen. Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach SSS ergeben: [ www.geogebra.org is not an authorized iframe site ] Das Axiom der Dreiecksungleichung[ www.youtube.com is not an authorized iframe site ] Axiom II.3: (Dreiecksungleichung)
Definitionen und SätzeDefinition II.2: (Zwischenrelation)
Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze: Satz II.1
Beweis von Satz II.1
Satz II.2:
Beweis von Satz II.2
Satz II.3
Beweis von Satz II.3:Wir haben den Beweis in der Übung am 26. Mai geführt. Üben Sie das Aufschreiben derartiger Beweise noch einmal hier. Schreiben Sie hier ihre Beweise rein. Sie können nichts kaputt machen. Beweis vonExistenz: Der Begriff der StreckeDefinition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)
Unter der Strecke versteht man folgende Punktmenge: := {P|Zw (A,P,B)} U {A,B} Definition II.4: (Länge einer Strecke)
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:= |AB|
Halbgeraden bzw. StrahlenDefinition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)
Satz II.4
Beweis von Satz II.4Sie müssen Folgendes zeigen:
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