Gruppendefinition (kurz)

Linksinvers gleich Rechtsinvers Satz 1 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. $\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c$ Beweis von Satz 1 Es sei $b$ das Linksinverse bzgl. $\odot$ von $a$. Wir multiplizieren $b$ von rechts mit $a$: (I) $a \odot b = e \odot a \odot b$ (Wir haben $a$ mit $b$ von rechts multipliziert (II) $a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b$ (Auch $b$ hat ein Linksinverses $b^{-1}$ (III) $a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b$ (Assoziativität) (IV) $a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b$ ($b$ ist das Linksinverse von $a$) (V) $a \odot b = b^{-1} \odot b$ (Eigenschaften des Einselements) (VI) $a \odot b = e$ ($b^{-1}$ ist das Linksinverse von $b$ Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von $a$ auch Rechtsinverses von $a$ ist. Linkseins = Rechtseins Satz 2 Es sei $[G, \otimes]$ eine Gruppe. $\forall a \in G: a \otimes a_1^{-1} = e \land a \otimes a_2^{-1} = e \Rightarrow a_2^{-1}= a_1^{-1}$