Linksinvers gleich Rechtsinvers
Satz 1
Es sei eine Gruppe.
Beweis von Satz 1
Es sei das Linksinverse bzgl. von .
Wir multiplizieren von rechts mit :
(I) |
![a \odot b = e \odot a \odot b](/images/math/c/5/c/c5c686519b616d77163e62a4feb931be.png) |
(Wir haben mit von rechts multipliziert
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(II) |
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(Auch hat ein Linksinverses
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(III) |
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(Assoziativität)
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(IV) |
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( ist das Linksinverse von )
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(V) |
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(Eigenschaften des Einselements)
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(VI) |
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( ist das Linksinverse von
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Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von auch Rechtsinverses von ist.
Linkseins gleich Rechtseins
Satz 2
Es sei eine Gruppe. Wenn von links multipliziert Einselement von ist, dann ist auch von rechts multipliziert Einselement von .
Beweis von Satz 2
Es sei Gruppe. Es gelte ferner für das Element die folgende Eigenschaft: .
Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch für alle aus gilt.
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