Serie 2: Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten SoSe 2018

Aufgabe 2.1 SoSe 2018 Gegeben Sei das Gleichungssystem $\begin{align} && &a_{11}x &&+ &a_{12}y &= & a_{13} \\ && &a_{21}x &&+ &a_{22}y &= & a_{23} \end{align}$. Zeigen Sie, dass diese Schreibweise eines Gleichungssystems zur folgenden Schreibweise äquivalent ist: $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{13} \\ a_{23} \end{pmatrix}$ ist. Aufgabe 2.2 SoSe 2018 Gegeben sind die kleinen Koeffizientenmatrizen: (I) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ $~$ $~$ (II) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ $~$ $~$ (III) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ a) In welchem Fall könnte das zugehörige Gleichungssystem eindeutig lösbar sein? b) Generieren Sie für den potentiellen Fall der eindeutigen Lösbarkeit eine erweiterte Koeffizientenmatrix derart, dass das zugehörige Gleichungssystem wirklich eindeutig lösbar ist. Geben Sie diese Lösung an. Aufgabe 2.3 SoSe 2018 Gegeben sei die Matrix $M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Die Determinante $M=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ von $M$ berechnet sich zu $a \cdot d - b \cdot c$. Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen drr Lösbarkeit eines LGS mit $M$ als kleiner Koeffizientenmatrix und der Determinante von $M$. Aufgabe 2.4 SoSe 2018 Gegeben Sei das Gleichungssystem $\begin{align} && &3x &&+ &3y &= & c \\ && &x &&- &y &= & 2 \end{align}$. Lösen Sie dieses Gleichungssystem in Abhängigkeit von $c$. Aufgabe 2.5 SoSe 2018 Lösen Sie das folgende LGS. Geben Sie die Lösungsmenge in Form gemeiner Brüche an. $\begin{matrix} -\frac{1}{2}x &+& 3y &= &\frac{3}{4} \\ 2x &-& 4y &=& \frac{7}{8} \end{matrix}$