Beispiel 1: Basiswinkelsatz
Wieder eine Implikation
Formulierung 1
Der Basiswinkelsatz lautet:
- Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
Langsam wissen wir Bescheid: Der Satz ist eine Implikation.
Wir betrachten ein Dreieck
Voraussetzung: ist gleichschenklig.
Behauptung:Die Basiswinkel in sind kongruent zueinander.
Formulierung 2
Wäre der Begriff des gleichschenkligen Dreiecks vorab nicht definiert worden sein, könnten wir den Basiswinkelsatz trotzdem formulieren:
Basiswinkelsatz:
- Wenn in einem Dreieck zwei Seiten kongruent zueinander sind, dann sind auch zwei Innenwinkel dieses Dreiecks kongruent zueinander.
Für die Formulierung von Voraussetzung und Behauptung beziehen wir uns auf die obige Skizze.
Voraussetzung:
Behauptung:
Formulierung 3 für Schülerinnen und Schüler
Wir beziehen uns wieder auf die Skizze.
Satz: Wenn in dem Dreieck die beiden roten Strecken gleichlang sind, dann sind auch die beiden blauen Winkel gleichgroß.
Voraussetzung: Die beiden roten Seiten sind gleichlang.
Behauptung: Die beiden blauen Winkel sind gleichgroß.
Beweis der Implikation (Schulform)
Schritt 1:
- Wir falten das Dreieck so, dass der Punkt mit dem Punkt zur Deckung kommt.
- Durch diese Faltung erhalten wir den Mittelpunkt der schwarzen Seite . Wir nennen diesen Punkt .
Schritt 2:
- Der Punkt teilt die Schwarze Seite in zwei gleichlange Teilstecken, wir kennzeichnen sie gelb.
Schritt 3:
Das gekachelte und das schraffierte Teildreieck sind kongruent zueinander:
- Sie stimmen in den beiden gelben Seiten überein. (Wor hatten den Mittelpunkt gefaltet.)
- Sie stimmen in den beiden blauen Seiten überein. (Das war die Voraussetzung.)
- Sie haben die gestrichelte Seite gemeinsam.
- Es greift also der Kongruenzsatz SSS.
Schritt 4:
- Weil das gekachelte und das schraffierte Teildreieck zueinander kongruent sind, sind auch die beiden blauen Winkel gleichgroß zueinander. q.e.d.
Voraussetzung der Implikation als hinreichende Bedingung für die Wahrheit der Behauptung
Unsere nun bewiesene Implikation besagt, dass es für das Auftreten zweier kongruenter Innenwinkel in einem Dreieck hinreichend ist, dass das Dreieck zwei kongruente Seite hat bzw. gleichschenklig ist.
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