Aufgabe 3.1
Es seien und zwei Restklassen bzgl. des selben Moduls . Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit Restklassenaddition:
.
Aufgabe 3.2
Auf der Menge aller Brüche definieren wir deine Relation quotientengleich :
![\forall \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \in \mathbb{B}: \frac{a}{b} =_Q \frac{c}{d} :\Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c.](/images/math/3/a/d/3ad2de1436a310e98d37c8ac64e6dd37.png)
Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 3.3
Die Relation quotientengleich ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Brüche und zieht damit eine Klasseneinteilung nach sich. Die Menge aller Äquivalenzklassen nach ist die Menge der gebrochenen Zahlen . Eine gebrochene Zahl ist damit eine Äquivalenzklasse nach der Relation , d.h. der Bruch gehört genau dann zu , wenn gilt. Beweisen Sie die Repräsentantenunabhängigkeit der Multiplikation gebrochener Zahlen.
Aufgabe 3.4
Bestimmen Sie die Ordnung der multiplikativen Restklassengruppe modulo 97.
Aufgabe 3.5
Bestimmen Sie die Elementordnungen der Elemente der Klein'schen Vierergruppe.
Aufgabe 3.6
Bestimmen Sie alle erzeugenden Elemente der additiven Restklassengruppe modulo 256. (Excel hilft)
Aufgabe 3.7
Es sei eine zyklische Gruppe. Beweisen Sie, dass kommutativ ist.
Aufgabe 3.8
Aufgabe 3.9
Aufgabe 3.10
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