Serie 4: größere LSG lösen SoSe 2018

Aufgabe 4.1 SoSe 2018 Es seien $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$ drei Ebenen im $\mathbb{R}^3$, die genau den Punkt $S=(\pi,e,\sqrt{2})$ gemeinsam haben. Ferner gelte: $\varepsilon_x$ ist parallel zur $y-z-$Ebene, $\varepsilon_y$ ist parallel zur $x-z-$Ebene, $\varepsilon_z$ ist parallel zur $x-y-$Ebene. Beschreiben Sie die drei Ebenen $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$ mittels Gleichungen vom Typ $ax+by+cz=d$. Aufgabe 4.2 SoSe 2018 Geben Sie ein lineares Gleichungssystem vom Typ $\begin{matrix} a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\ a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \\ a_{31}x &+& a_{32}y &+& a_{33}z &=& b_3 \end{matrix}$ an, bei dem keiner der Koeffizienten Null ist und das die Lösungsmenge $L=\{(\pi,e,\sqrt{2})\}$ hat. Aufgabe 4.3 SoSe 2018 Beschreiben Sie die Gerade $g:=\{P \vert P=A+t \overrightarrow{r}, t \in \mathbb{R} \}$ für $\overrightarrow{r}:=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ und $A:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ als Lösungsmenge eines Gleichungssystems vom Typ $\begin{matrix} a_{11}x &+& a_{12}y &+& a_{13}z &=& b_1 \\ a_{21}x &+& a_{22}y &+& a_{23}z &=& b_2 \end{matrix}$. Aufgabe 4.5 SoSe 2018 Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen: $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & \vert & 2 \\ 3 & 5 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 4 & \vert & 3 \end{pmatrix}$ Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge: $\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -3 \\ ~ & 1 & ~ & \vert & 4 \\ ~ & ~& 1 & \vert & -\frac{7}{4} \end{pmatrix}$ Aufgabe 4.6 SoSe 2018 Lösen Sie das folgende LGS, indem Sie es auf Diagonalenform bringen: $\begin{pmatrix} 15 & 3 & 7 & \vert & 10 \\ -4 & -10 & 4 & \vert & 4 \\ -2 & 1 & 2 & \vert & 11 \end{pmatrix}$ Da es um das Anwenden des Verfahrens geht, hier die Lösungsmenge: $\begin{pmatrix} 1 & ~ & ~ & \vert & -\frac{111}{88} \\ ~ & 1 & ~ & \vert & \frac{3}{2} \\ ~ & ~& 1 & \vert & \frac{307}{88} \end{pmatrix}$ Aufgabe 4.7 SoSe 2018 Gegeben seien die folgenden Punkte $A,B,C,D,E,F,H$: $\begin{matrix} A &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} B &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} C &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} D &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ E &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} F &=& \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} G &=& \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} H &=& \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{matrix}$ Wir betrachten einen Würfel mit den Eckpunkten $A,B,C,D,E,F,G,H$. (a) Beschreiben Sie die Flächen dieses Würfels mittels Gleichungen vom Typ $ax+by+cz=d$. (b) Beschreiben Sie die Geraden, die durch die Kanten des Würfels eindeutig bestimmt sind als Lösungsmenge jeweils eines Gleichungssystems. Aufgabe 4.8 SoSe 2018 Aufgabe 4.9 SoSe 2018 Aufgabe 4.10 SoSe 2018