Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Beweis von Satz IX.2

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung:

$\left| AC \right| > \left| BC \right|$ bzw. $\left| a\right| > \left| b \right|$

Auf $\overline{BC}$ gibt es jetzt genau einen Punkt $\ B'$ mit $\left| CB' \right| > \left| b\right|$.

Begründung der Konstruktion von $\ B'$ :

...

Wie geht es weiter?

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(i)	$b \cong \overline{B'C}$	====== Begründung (i) ======
(ii)	$\delta_1 \cong \delta_2$	?
(iii)	$\left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right|$	?
(iv)	$\left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right|$	?
(v)	$\left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right|$	?
(vi)	$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$	?

Satz IX.3

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Beweis von Satz IX.3

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung:

$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Behauptung:

$\left| a \right| > \left| b \right|$

Annahme:

$\left| a \right| \le \left| b \right|$

Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?