Restklassen modulo 4 mit der Restklassenmultiplikation

Wir überprüfen ob $[R$₄$,\odot ]$ eine Gruppe ist. Hierfür betrachten wir die Verknüpfungstafel:

$\odot$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$
$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{0}$
$\overline{1}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$
$\overline{2}$	$\overline{0}$	$\overline{2}$	$\overline{0}$	$\overline{2}$
$\overline{3}$	$\overline{0}$	$\overline{3}$	$\overline{2}$	$\overline{1}$

Abgeschlossenheit

Passt, weil wir sehen können, dass jeder Eintrag, also jedes Ergebnis einer Restklassenmultiplikation, ebenfalls in derselben Restklasse ist.

Assoziativität

Passt, denn die Restklassenmultiplikation ist definiert durch $\overline{a},\overline{b}\isin R$₄$, \overline{a} \odot \overline{b} := \overline{a \sdot b}$ mit $a,b \isin \Z$

Somit lässt sich $(\overline{a} \odot \overline{b} )\odot \overline{c} = \overline{a} \odot (\overline{b} \odot \overline{c} )$

auch so schreiben: $(\overline{a \sdot b )\sdot c} = \overline{a \sdot (b \sdot c} )$ mit $a,b,c \isin \Z$

und die Assoziativität in $\Z$ gilt als bewiesen.

neutrales Element

Passt, denn anhand der Verknüpfungstafel ist zu sehen, dass die $\overline{1}$ das neutrale Element von $[R$₄$,\odot ]$ ist.

inverses Element

Passt nicht! In der Verknüpfungstafel sehen wir, das die $\overline{1}$ und die $\overline{3}$ zwar ein inverses Element haben, die $\overline{2}$ allerdings nicht.

Resultat

Somit ist $[R$₄$,\odot ]$ keine Gruppe.