Lösung von Aufgabe 4.2 (WS 18 19)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 1 ist nicht korrekt, da der Basiswinkelsatz hier als |AC| ≠ |BC| => |α| ≠ |β| dargestellt wird. Das gilt aber nicht nach dem Basiswinkelsatz, sonder erst nach der Kontraposition der Umkehrung. Die ist zwar äquivalent zur Umkehrung, die schon als bewiesen gilt, ist jedoch hier unpräzise deklariert. Beweis 2 formuliert den Argumentationsweg aus und ist deswegen genauer.--CIG UA (Diskussion) 20:49, 7. Nov. 2018 (CET)

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Satz: |AC|< |BC| < |AB| => |α| ≠ |β|

Vor: |AC|< |BC| < |AB|

Beh: |α| ≠ |β|

Ann: |α| = |β|

Beweis:

1) Das Dreieck ist nicht gleichschenklig. => Vor.

2) |α| = |β| => Ann.

3)((|AC|< |BC| < |AB|) => (|α| = |β|)) <=> ((|α| ≠ |β|) => (|AC| >= |BC| >= |AB|)) => Aussagenlogik

4) Folgerung aus 3 widerspricht der Umkehrung des Satzes (|α| ≠ |β| => |AC| < |BC| < |AB|) => Satz, Aussagenlogik und der Kontraposition des Satzes (die eine äquivalente Aussage zum Satz darstellt) ((|α| = |β|) => (|AC| >= |BC| >= |AB|)--CIG UA (Diskussion) 20:49, 7. Nov. 2018 (CET)