Lösung von Aufg. 7.3P (WS 18 19)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace$

(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit $\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace$ und nutzen Sie den Satz von Pasch)

Die Punkte A, B, D bilden das Dreieck $\overline{ABD}$, $\overline{AB}$ wird von g nicht geschnitten, $\overline{AD}$ wird geschnitten. - Voraussetzung, Hinweis
=> g muss noch eine weitere Seite von $\overline{ABD}$ schneiden, also $\overline{BD}$. - 1., Satz von Pasch
=> B, C, D bilden ein Dreieck $\overline{BCD}$, g schneidet $\overline{BD}$ und genau eine weitere Seite. - Satz von Pasch
=> g schneidet $\overline{CD}$, da g $\overline{BC}$ nicht schneidet. - 3., Vorraussetzung
=> A, C, D bilden das Dreieck $\overline{ACD}$, g schneidet $\overline{AD}$ und $\overline{CB}$, somit kann g $\overline{AC}$ nicht schneiden. - 1., 4., Satz von Pasch--CIG UA (Diskussion) 15:24, 30. Nov. 2018 (CET)