Lösung von Aufgabe 11.1P (WS 18 19)

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Vor: a"= D_(S,180)(a) ; Beh: a" || a

1.) D_(S,180)(a) = S_g$\circ$S_h(a) mit g geschnitten h = {S} und g steht senkrecht auf h. - Vor.; Def. Puntkspiegelung
2.) g und h seien so gewählt, dass gilt: g || a => a steht senkrecht auf h - 1.); Eigenschaft der Drehung, Geraden beliebig drehen zu können (solange der Winkel beibehalten wird)
3.) S_h(a) = a' = a - 2.); a ist Fixgerade für die Spiegelung an h
4.) S_g(a') = S_g(a) = a" - 3.); Transitivität der Gleichheitsrelation
5.) a || g => a" || g - 2.); 4.); Wenn eine Gerade an einer Parallelen gespiegelt wird, ist die Bildgerade auch Parallel zur Spiegelgeraden
6. a || a" - 5.); Transitivität der Parallelitätsrelation
Die Behauptung ist bewiesen. --CIG UA (Diskussion) 21:30, 11. Jan. 2019 (CET)