Lösung von Aufgabe 11.2P (WS 18 19)

Beweisen Sie Satz IX.9:
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden a und b. Wir betrachten die Verkettung $S_{a}\circ S_{b}$. Jeder Punkt P hat dabei zu seinem Bildpunkt $P''=S_{a}\circ S_{b}(P)$ einen Abstand der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden Spiegelgeraden.

Vor: P"= S_a$\circ$S_b(P) mit a || b ; Beh: |PP"| = 2|AB| mit A = a geschnitten PP" und B = b geschnitten PP" (außerdem steht PP" senkrecht auf a und b)

1.) S_a(P) = P' und S_b(P') = P" - Vor; Def Drehung/Verschiebung
2.) |PP'| = |PA| + |AP'| = 2|AP'| - 1.) Streckentreue, Längenerhaltung, Streckenaddition
3.) |P'P"| = |P'B| + |BP"| = 2|P'B| - 1.) Streckentreue, Längenerhaltung, Streckenaddition
4.) |PP"| = |PA| + |AP'| + |P'B| + |BP"| - 2.); 3.); Streckenaddition
5.) |PP"| = 2|AP'| + 2|P'B| - 2.) ;3.); 4.); Streckenaddition
6.) |PP"| = 2(|AP'| + |P'B|) - 5.); Streckenaddition
7.) |PP"| = 2|AB| - 6.)
Die Behauptung ist bewiesen. --CIG UA (Diskussion) 21:40, 11. Jan. 2019 (CET)