Lösung von Aufgabe 11.5P (WS 18 19)

1. Gegeben sei ein Winkel $\angle ABC$ und ein Punkt P im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\angle ABC$ liegt. Konstruieren Sie eine Strecke $\overline{DE}$ deren Endpunkte D und E jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels $\angle ABC$ liegen und P Mittelpunkt der Strecke $\overline{DE}$ ist.
2. Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist.

Punkspiegelung der Halbgeraden des Winkels um P, konstruiert durch je einen Kreis mit Radius |P(jeweiliger Punkt)|, die Bildpunkte A',B',C' können dann durch die Schnittpunkte dieser Kreise mit den Geraden (jeweiliger Punkt)P konstruiert werden. Die Schnittpunkte von Winkel und Abbildung des Winkels sind die Punkte D und E, wobie D der Bildpunkt von E ist und somit gilt, dass ED eine Gerade durch P ist und |EP|= |PD|.

Beweis: (Im Beweis ist der Scheitelpunkt C)
Vor: D_(P,180)($\angle{ACB}$) = $\angle{A'C'B'}$ und $\angle{ACB}$ geschnitten $\angle{A'C'B'}$ = {D;E}
Beh: P ε $\overline{DE}$ und |DP| = |PE|

1.) D_(P,180) = S_p $\circ$ S_q - Vor; Def. Drehung
2.) p sei so gewählt, dass gilt: p steht senkrecht auf AC => S_p(AC) = AC - Relative Lage der Spiegelachsen bei Drehungen, AC ist Fixgerade für die Spiegelung an p
3.) q || AC => S_q(AC) = A'C' mit q || A'C' - 2.) Transitivität der Parallelität, Spiegelung einer Geraden an einer Parallelen erzeugt eine Parallele
4.) C'A' geschnitten CB = D - 3.) 5.) D_(P,180) (D) = E - 2.)
6.) P ε $\overline{DE}$ und |DP| = |PE| - 5.)
Die Behauptung ist bewiesen. --CIG UA (Diskussion) 22:15, 11. Jan. 2019 (CET)