GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

Vorbereitungsauftrag

Der Satz von Fubini ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

$\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)$

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

1. Wiederholen Sie den Satz von Fubini aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
2. Formulieren Sie den Satz von Fubini für folgenden Spezialfall: Es sei $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ein abgeschlossener Quader, und $Y \subseteq \mathbb{R}$ ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei $A\subseteq X\times I$ messbar. Wir betrachten für $h\in I$ die Mengen $A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}$. Wie können Sie $\int_{A}d(x,y)$ berechnen?
3. Für das Prinzip von Cavalieri findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.

Das Prinzip von Cavalieri

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.