Übungsaufgaben zur Algebra, Serie 1 SoSe 2019

Aufgabe 01 Beweisen Sie: Die natürlichen Zahlen bilden sowohl bzgl. der Addition als auch bezüglich der Multiplikation keine Gruppe. Aufgabe 02 Es sei $M_{2\times2}$ die Menge aller $2 \times 2-$Matrizen. Beweisen Sie: $\exists E \in M_{2\times2}\forall M \in M_{2\times2} : E \cdot M=M\cdot E= M$. Aufgabe 03 Geben Sie $10$ Nullteiler aus $M_{2\times2}$ an. Aufgabe 04 Es sei $D_{45}:= \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\sqrt{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix}$. Ergänzen Sie $D:=\{D_{45}, \ldots\}$ derart, dass $[D, \cdot]$ eine Gruppe ist. Aufgabe 05 Beweisen Sie: Die Matrix $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ ist nicht invertierbar. Aufgabe 06 $A:=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ Wir definieren die Determinante $det(A)$ wie folgt: $det(A):=|A|:=a \cdot d - b \cdot c$ Beweisen Sie: Die Matrizenmultiplikation ist abgeschlossen auf der Menge aller $2\times2-$Matrizen, deren Determinante 1 ist. Aufgabe 07 Wir definieren $\mathbb{O}_n:=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} | a,b,c,d \in \mathbb{R} \land a^2+c^2=1 \land b^2+d^2=1 \land ab+cd=0 \land ac+bd=0 \right\}$ Beweisen Sie: $\mathbb{O}_n$ bildet bzgl. der Matrizenmultiplikation eine Gruppe.