GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

Vorbereitungsauftrag

Vom Volumen zum Flächeninhalt

Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine Waage und ein Maßband.

1. Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
2. Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf allgemeine Zylinder.
3. In dieser Aufgabe wurde das Problem der Flächenmessung auf das Problem der Volumenmessung zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung im Alltag tatsächlich das einfacherere Problem ist.

Vom Flächeninhalt zum Volumen

Lesen Sie den Abschnitt „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“ aus dem Skript zur „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“, Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).

1. Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri nach.
2. Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern nach.
3. Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?

Vorbereitungsauftrag (Zusatz)

Der Satz von Fubini ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

$\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)$

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

1. Wiederholen Sie den Satz von Fubini aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
2. Formulieren Sie den Satz von Fubini für folgenden Spezialfall: Es sei $X \subseteq \mathbb{R}^{n}$ ein abgeschlossener Quader, und $I \subseteq \mathbb{R}$ ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei $A\subseteq X\times I$ messbar. Wir betrachten für $h\in I$ die Mengen $A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}$. Wie können Sie $\int_{A}d(x,y)$ berechnen?
3. Für das Prinzip von Cavalieri findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
4. Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

Das Prinzip von Cavalieri (für Körper)

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.

Sitzungsmaterialien

• Begleitfolien der Seminarsitzung vom 17.05.2019
• Vortragsnotizen für die Integration des Paralellograms
• Sie auch Zusatzmaterial Fläche und Volumen auf der Mathematischen Medienplattform des Mathematischen Instituts der Universität Heidelberg.

Dokumentation der Sitzung

Zusammenfassung

Diese Sitzung beschäftigte sich exemplarisch mit der Bestimmung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen als Einstieg in den Themenkomplex "Messen".

Inhaltlicher Input (Einführung)

In den Bildungsstandards von Baden-Württemberg findet sich die Leitidee Messen. In diesem Zusammenhang ist oft auch von den vier Grundprinzipien des Messens die Rede:

• Vergleichsaspekt
• Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt
• Messgeräte-Aspekt
• Messen-als-Berechnen-Aspekt

[Details, siehe oben verlinkte Sitzungsfolien]

Da die Bestimmung von Flächeninhalt/Volumen als Integration angesehen werden kann [Propädeutik], haben wir uns in der folgenden Arbeitsphase mit der Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen [mithilfe der Integrationstheorie] beschäftigt.

Arbeitsphase (Flächeninhalt eines Parallelogramms)

Aufwärmübung - Flächeninhalt eines Rechtecks.

Sei $ABCD$ ein Rechteck mit Grundseite $g$ und Höhe $h$. Dieses Rechteck kann man wie folgt in einem 2D-Koordinatensystem betrachten: Der Punkt $A$ ist der Ursprung mit Koordinaten $(0;0)$, der Punkt $B$ entspricht dem Punkt mit Koordinaten $(g;0)$ und der Punkt $D$ entspricht dem Punkt mit Koordinaten $(0;h)$. Dadurch ist auch bereits $C$ mit $(g;h)$ eindeutig festgelegt. Nun kann die Berechnung des Flächeninhalts als Bestimmung der Fläche Zwischen x-Achse und der Geraden durch $C$ und $D$ auf dem Intervall $[0, g]$ betrachte werden. Es handelt sich also um eine simple Integration. Man erhält:

$F_{ABCD} = \int_0^g h \, dt = [ht]^g_0 = hg$.

Dieser Ansatz verwendet gerade die Rieman-Integration.

Natürlich wäre aber auch eine Integration über die Höhe $h$ Mittels der Lebesgue-Integration möglich gewesen. Man erhält so:

$F_{ABCD} = \int_0^h g \, dt = [gt]^h_0 = gh$.

Flächeninhalt eines Parallelogramms
Im Folgenden werden nun verschiedene Ansätze zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms $ABCD$ vorgestellt. Für die exakten Rechnungen sei auf die verlinkten Vortragsnotizen des Dozenten verwiesen.

Idee	Skizze	Ausführung	Entsprechung
Zerlege das Parallelogramm in drei Teile	Datei:Para1.png	Man berechnet $F_{ABCD} = \int_0^{g+\alpha} h_t \, dt = \int_0^{\alpha} h_t \, dt + \int_\alpha^{g} h_t \, dt + \int_g^{g+\alpha} h_t \, dt$. Zur Berechnung von $h_t$ im ersten und dritten Summanden bietet sich ein Steigungsdreick zur Bestimmung von $\beta$ an.	Die Integration entlang der Grundseite (Riemann) entspricht gerade der Zerlegung des Parallelogramms in Rechteck und Dreiecke.
Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel

Das Prinzip von Cavalieri (für Körper)

Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern gleichen Flächeninhalt haben, so sind die beiden Körper volumengleich.

Das Prinzip von Cavalieri (für Flächen)

In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.

Nachbereitungsauftrag

Im Jahre 1994 veröffentlichte das Journal Diabetes Care den Artikel „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“ von Mary M. Tai. In dem Artikel entwickelt und validiert Tai eine Methode zur Berechnung der Fläche unter einer Blutzuckerkurve.

1. Finden Sie heraus, wann und von wem die Integrationstheorie und insbesondere die Trapezregel entwickelt wurde. Lesen Sie dann Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“.
2. Für die Validierung „ihres“ Approximationsverfahrens vergleicht Tai ihre Rechenergebnisse mit einem Bestimmungsverfahren für den „wahren Wert“. Diskutieren Sie die beiden Verfahren vor dem Hintergrund des Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekts, des Messen-als-Berechnen-Aspekts und des Vergleichsaspekt (vgl. Grundprinzipien des Messens in ).
3. Analysieren Sie die Fehler/Fehlvorstellung zum Messen, die in dem Artikel sichtbar werden. Skizzieren Sie Hypothesen, wie diese Fehlvorstellungen entstanden sein könnten und wie Sie Ihnen im Unterricht der Sekundarstufe II begegnen bzw. im Unterricht der Sekundarstufe I vorbeugen könnten.

Ergebnisse der Nachbereitung

Tragen Sie hier die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in Textform (nicht länger als 500 Wörter) ein.

Abgabe von Max Mustermann

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Literaturhinweise

• Greefrath et al. (2016) „Didaktik der Analysis“.
• Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“. In khdm-Report (Masterarbeit).
• Kapitel 5 (Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10) in Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.
• siehe auch: übergreifende Literaturhinweise