Gruppendefinition (kurz)

Linksinvers gleich Rechtsinvers Satz 1 Es sei $[G, \odot]$ eine Gruppe. $\forall a \in G: a \odot b = e \land c \odot a = e \Rightarrow b=c$ Beweis von Satz 1 Es sei $b$ das Linksinverse bzgl. $\odot$ von $a$. Also $b\odot a = e$ ist unsere Voraussetzung. Wir multiplizieren $b$ von rechts mit $a$: (I) $a \odot b = e \odot a \odot b$ (Wir haben $a$ mit $b$ von rechts multipliziert (II) $a \odot b = (b^{-1} \odot b)\odot a \odot b$ (Auch $b$ hat ein Linksinverses $b^{-1}$ (III) $a \odot b = b^{-1} \odot (b\odot a) \odot b$ (Assoziativität) (IV) $a \odot b = b^{-1} \odot e \odot b$ ($b$ ist das Linksinverse von $a$) (V) $a \odot b = b^{-1} \odot b$ (Eigenschaften des Einselements) (VI) $a \odot b = e$ ($b^{-1}$ ist das Linksinverse von $b$ Mit Gleichung (VI) haben wir gezeigt, dass das Linksinverse von $a$ auch Rechtsinverses von $a$ ist. Linkseins gleich Rechtseins Satz 2 Es sei $[G, \otimes]$ eine Gruppe. Wenn $e \in G$ von links multipliziert Einselement von $[G, \otimes]$ ist, dann ist $e$ auch von rechts multipliziert Einselement von $G$. Beweis von Satz 2 Es sei $[G, \otimes]$ Gruppe. Es gelte ferner für das Element $e \in G$ die folgende Eigenschaft: $\forall g \in G: e \otimes g = g$. Wir haben zu zeigen, dass jetzt auch $g \otimes e = g$ für alle $g$ aus $G$ gilt. Wir gehen von $(I) e \otimes g = g$. In Gleichung $(I)$ multiplizieren wir von rechts auf beiden Seiten mit $g^{-1}\otimes g$ und erhalten $(II)$. $(II) e \otimes g \otimes (g^{-1}\otimes g) = g \otimes (g^{-1}\otimes g)$. Aus $(II)$ folgt: $(III) e \otimes g = g \otimes e$ q,e.d. Verkürzte Gruppendefinition Wegen der Gültigkeit von Satz 1 und Satz 2 können wir unsere Gruppendefinition kürzer schreiben: Definition 5: Gruppe (verkürzte Schreibweise) Eine nichtleere Menge $G$ zusammen mit einer Verknüpfung $\oplus$ heißt Gruppe, wenn gilt: $\oplus$ ist abgeschlossen auf $G$: $\forall a, b \in G: a \oplus b \in G$ $\oplus$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$ Es gibt in $G$ bzgl. $\oplus$ ein neutrales Element $n$: $\exists n \in G \forall a \in G: a \oplus n = a$ Jedes Element aus $G$ hat in $G$ ein inverses Element bzgl. $\oplus$: $\forall a \in G \exists -a \in G: a \oplus -a= n$.