Lösung von Aufgabe 12.1
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Der schwache Außenwinkelsatz
Aufgabenstellung
Überprüfen Sie Ihr Verständnis: Ist Schritt 2.a im Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes wirklich nötig? Wenn ja warum?
Der schwache Außenwinkelsatz
Hier nochmal: der Beweisschritt 2a, die Bezeichnungen wurden angepasst, bzw. stimmen mit der Skizze nun überein.
Das offene Innere von ist der Schnitt zweier offener Halbebenen
.
Der Punkt würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels
liegen,wenn er
- in Halbenbene
oder
- in der Halbebene
liegen würde.
zu 1.
Als Punkt der Halberaden (Konstruktion von
) kann
nicht mit
auf ein und derselben Seite bezüglich
liegen.
zu 2.
2.a
Annahme:
In diesem Fall würde gelten:
. (Begründung mittels Inzidenzaxiomen ist jetzt nicht mehr nötig.) Wir wollen uns darauf einigen die Gerade
mit
zu bezeichnen.
Die Gerade hat mit der Geraden
genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt
.
Die Gerade hat mit der Geraden
genau einen Punkt gemeinsam, den Punkt
.
Da die beiden Geraden und
identisch sind und die nichtidentischen Geraden
und
maximal einen Punkt gemeinsam haben können,
müssen die beiden Punkte und
identisch sein.
Letzteres ist ein Widerspruch zur Wahl von .
ist nämlich der Mittelpunkt von
.
Lösung 1
Ja, der Fall, dass muss durchdacht werden, da die Lage des Punktes theoretisch überall im Schnittpunkt der Halbebenen ligen kann. Wenn man den zweiten Teil des Beweises (ohne Hilfskonstruktion) betrachtet, ist die (mögliche) Lage von
nicht sofort ersichtlich.
Allerdings kann man auch begründen: Nein, man muss den Fall nicht aufführen, da es trivial ist, die Lage von zu widerlegen. Man kann es sich bildlich so vorstellen, dass
ja mithilfe des Mittelpunktes der Strecke
konstruiert wurde und deshalb - sollte
sein - die Strahlen
identisch seien.
--Heinzvaneugen 21:16, 11. Jul. 2010 (UTC)
Lösung 2
Wenn wir (mit dem indirekten Beweis) zeigen dass P nicht in der Halbebene
liegen kann, so gilt das für die komplette GESCHLOSSENE Halbebene
, d.h. auch für die Trägergerade AB.
Das gleiche gilt für die GESCHLOSSENE Halbebene
…
Daraus folgt, dass der Schritt 2a überflüssig ist, wir haben mit 1 und 2 bewiesen das P nur im Inneren liegen kann.
--Principella 19:34, 19. Jul. 2010 (UTC)