Benutzer:Gnamo54

Satz: $\sqrt{2}$ ist irrational

Annahme: $\sqrt{2}$ ist rational, d.h. a,b $\in$ $\mathbb{N}$

$\sqrt{2}$= $\frac{a}{b}$

$\Leftrightarrow$ $2$ = $\frac{a^{2}}{b^{2}}$

$\Leftrightarrow$ $2b^{2}$ = $a^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $a^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $a$

$\Rightarrow$ $a$ = $2c$, mit $c$ $\in$$\mathbb{N}$

$\Rightarrow$ $2b^{2}$ = $(2c)^{2}$

$\Leftrightarrow$ $2b^{2}$ = $4c^{2}$

$\Leftrightarrow$ $b^{2}$ = $2c^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $b^{2}$

$\Rightarrow$ $2$ $\vert$ $b$

$\rightarrow$ Widerspruch zur Annahme, dass a und b teilerfremd sind