Wurzel aus 2 ist irrational

Satz: Die Wurzel aus 2 ist irrational

Annahme: $\sqrt{2}$ ist rational.
d.h. $\sqrt{2}=\frac{p}{q}, p,q \in \mathbb{N}$.

Beweis durch Widerspruch.
Annahme: $\sqrt{2}$ = rational

D.h. $\exists$ p,q $\in$ $\mathbb{N}$ : $\frac{p}{q}$ = $\sqrt{2}$ , mit p,q sind teilerfremd.

$\Rightarrow$ $\frac{p^2}{q^2}$ = 2
$\Rightarrow$ $p^2$ = $2q^2$
$p^2$ ist gerade. $\Rightarrow$ p=2n, mit n $\in$ $\mathbb{N}$
$\Rightarrow$ $(2n)^2$ = $2q^2$
$\Rightarrow$ $4n^2$ = $2q^2$
$\Rightarrow$ $2n^2$ = $q^2$
$\Rightarrow$ q ist ebenfalls gerade $\Rightarrow$ p und q sind nicht teilerfremd.
$\Rightarrow$ $\frac{p^2}{q^2}$ ist kürzbar.
$\Rightarrow$ $\sqrt{2}$ = irrational