Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

Lösung Aufgabe 6.1

Aufgabe 6.1

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

1. $M_1= \overline{AB} \cap AB^+$.
2. $M_2= \overline{AB} \cup AB^+$.
3. $M_3= \overline{AB} \cap BA^+$.
4. $M_4= \overline{AB} \cup AB^-$.
5. $M_5= \overline{AB} \cap AB^-$.
6. $M_6= \overline{AB} \cup AB^-$.

Lösung

$M_1= \overline{AB}$
$M_2= AB^+$
$M_3= \overline {AB}$
$M_4= BA^+$
$M_5=${A}
$M_6= BA^+$

Lösung von Ferrus

Bemerkungen M.G.

Lösung Aufgabe 6.2

Aufgabe

Definieren Sie den Begriff Halbebene $gA^-$.

Lösung

Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert.
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass $\overline {AP}$ einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene $gA^-$.

Lösung Aufgabe 6.3

Aufgabe

Definition: (Dreieck)

Es gelte $\operatorname{nkoll}(A,B,C)$.

$\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}$.

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks $\overline{ABC}$.

$I(\overline{ABC}):= \ldots$.

Lösung

und $M_2$ zwei konvexe Punktmengen ...

Lösung Aufgabe 6.5

Aufgabe

Beweisen Sie, dass jede Strecke $\overline{AB}$ eine konvexe Menge ist.

Lösung

Lösung 0

Es seien $C$ und $D$ zwei Punkte der Strecke $\overline{AB}$.
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

eingestellte Lösung 1

Bemerkung --*m.g.* (Diskussion) 17:27, 16. Jun. 2020 (CEST)=

Schritte 4 und 5 sind unnötig. Der Rest ist nicht zwingend.
Sie müssen zeigen, dass ein beliebiger Punkt $P$ von $\overline{CD}$ zu $\overline{AB}$ gehört.
Für die Endpunkte $C,D$ ist das trivial.
Sei $P \in \overline{CD}, A, B \not \equiv P$.
Wir müssen zeigen, dass $\operatorname{zw(A,P,B}$
Das haben wir gezeigt, wenn wir
$\begin{matrix} (*) & |AP|+|PB| & = & |AB|\\ \end{matrix}$
gezeigt haben.

Wir kümmern uns zunächst um die Lage der Punkte $C$ und $D$.
$A, C$ und $D$ sind drei kollineare paarweise verschiedene Punkte von denen demnach genau einer zwischen den anderen beiden liegt. Sei dieses o.B.d.A. der Punkt $C$. Über die Punkte und ihre Abstände haben wir nun die folgenden gesicherten Kenntnisse:

$\begin{matrix} (I) & |AC|+|CB|& = & |AB| & ~ wegen ~ C \in \overline{AB} \\ (II) & |AD|+|DB|& = &|AB| & ~ wegen ~ D \in \overline{AB} \\ (III) & |AC|+|CD|&=& |AD| & ~wegen~ \operatorname{zw}(A,C,D)\\ \end{matrix}$
Der Punkt $D$ muss nun zwischen $C$ und $B$ liegen.
Wäre dem nicht so, müsste $C$ zwischen $D$ und $C$ liegen.
Hier müssen Sie jetzt einen Widerspruch finden ...
Wegen $\operatorname{zw} (C,D,B)$ gilt:

$\begin{matrix} (IV) & |CD|+|DB|& = & |CB| \\ \end{matrix}$
Jetzt konzentrieren wir uns noch mal auf $P$:

$\begin{matrix} (V) & |CP|+|PD|& = & |AB| & ~ wegen ~ P \in \overline{CD} \\ \end{matrix}$
Jetzt versuchen Sie, aus (I) bis (V) (*) zu "basteln".

Lösung Aufgabe 6.6

Aufgabe

Gegeben seien in der Ebene $\varepsilon$ die offene Halbebene $gA^+$, die Trägergerade $g$ und die offene Halbebene $gA^-$. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

1. $gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset$,
2. $gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon$.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex)

Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2.

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)

Lösung 0

Wir beginnen mit der Halbebene $gA^+$.
Es seien nun $P$ und $Q$ zwei Punkte aus $gA^+$.
Wir haben zu zeigen, dass .....

1. Lösung, die eingestellt wurde

Lösung Aufgabe 6.7

Aufgabe

Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.

Lösung

Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen $AB,C^+$
, $BC,A^+$ und $AC,B^+$. Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist,
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

Lösung Aufgabe 6.8

Aufgabe

Definieren Sie die folgenden Begriffe:

1. Kreis $k$ mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$.
2. Halbkreis mit den Endpunkten $A$ und $B$.
3. Viertelkreis mit den Endpunkten $A$ und $B$.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)

Lösung Aufgabe 6.9

Aufgabe

Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.

Lösung

Definition

Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.
Das Innere $I(k)$ des Kreises $k$ wird wie folgt definiert:

$I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}$.

Beweis des Satzes

Satz: $A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)$.
Für jeden Punkt $C\in \overline{AB}$ ist also zu zeigen, dass $\ldots$.
Wir nehmen an, dass ....
Wegen $C\in \overline{AB}$ gilt die folgende Gleichung ... .
...

Lösung Aufgabe 6.10

Aufgabe

Ebene Geometrie:\\ Definition: (Ellipse)

Es seien $F_1$ und $F_2$ zwei Punkte und $c$ eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge $E$ heißt Ellipse mit den Brennpunkten $F_1$ und $F_2$: $E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}$

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt $F$ im Inneren von $k$. Legen Sie nun einen Punkt $L$ auf $k$ fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte $m$ von $\overline{PF}$ zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt $P$ von $m$ mit $\overline{ML}$. Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt $P$ ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten $M$ und $F$ und $c=r$ ist.