Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20)

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: $a \cap b = S$ und $a \cap g = P$ und $b \cap g = E$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$S_a\circ S_b(g)=g''$	Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
2)	$S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E''$	Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
3)	$|< PSE| = |< P''SE''|=|< ab|$	Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
4)	$| PS | = | P''S | \wedge | ES | = | E''S |$	Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
5)	$g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E''$	1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
6)	$g| | g''$	3), 4), 5)