Lösung von Aufgabe 11.1P (SoSe 20)

Beweisen Sie Satz IX.4: Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet.

Voraussetzung: Punktspiegelung einer Geraden g

Behauptung: g parallel zu g

Zusatz: a und b sind die Spiegelgeraden der Punktspiegelung mit: $a \cap b = S$ und $a \cap g = P$ und $b \cap g = E$

	Beweisschritt	Begründung
1)	$S_a\circ S_b(g)=g''$	Geradentreue der Geradenspiegelung, Def. Punktspiegelung
2)	$S_a\circ S_b(P)=P'' \wedge S_a\circ S_b(E)=E''$	Def. Punktspiegelung, S ist Fixpunkt
3)	$|< PSE| = |< P''SE''|=|< ab|$	Winkelmaßerhaltung der Geradenspiegelung, 2), Zusatz
4)	$| PS | = | P''S | \wedge | ES | = | E''S |$	Eigenschaft Punktspiegelung, 2)
5)	$g'' \cap a=P'' \wedge g'' \cap b=E''$	1), 2), 3), Eigenschaft Geradenspiegelung, Zusatz
6)	$g|| g''$	3), 4), 5)

--tgksope (Diskussion) 10:58, 25. Jul. 2020 (CEST)

Der Beweis geht kürzer: 

Voraussetzung: Punktspiegelung $S_a\circ S_b$ mit $a \cap b = \lbrace S \rbrace$ und a $\perp b$ 
Behauptung: g || g

	Beweisschritt	Begründung
1)	Drehen a und b mit festen S und festen Drehwinkel so, dass a II b	Punktspiegelung
2)	$S_a(g)=g'$$, g' || g$	Parallelentreue, 1), Vor., Def. Geradenspiegelung
3)	$S_b(g')=g'' = g'$	Def. Fixgerade, Vor.
4)	$g || g''$	2), 3), Transitivität der Parallelenrelation

--Tutorin Laura (Diskussion) 11:06, 27. Jul. 2020 (CEST)