Aufbau, Inhalte, Gestaltung der Lehrveranstaltung Elementargeometrie

Einordnung

Die Elementargeometrie baut auf der Einführung bin die Geometrie auf. Wie auch in der Einführungslehrveranstaltung wird synthetische Geometrie betrieben. Der grundlegende Unterschied zwischen beiden Veranstaltungen besteht darin, dass in der Einführung die Kongruenz als statische Dreieckskongruenz betrachtet wurde und demgegenüber die Elementargeometrie aus abbildungsgeometrischer Sicht mehr dynamisch untersucht wird.

Satz des Pythagoras

Als Klammer um die gesamte Lehrveranstaltung legen wir die Satzgruppe des Pythagoras. Das bedeutet, dass sich sowohl die erste als auch die letzte Konferenz mit der Satzgruppe des Pythagoras beschäftigt. In der ersten Konferenz werden wir den Satz des Pythagoras mit den bisher in der Einführung in die Geometrie bereit gestellten mathematischen Mitteln beweisen.

Bewegungen

Die weiteren Konferenzen werden sich zunächst mit der Kongruenzgeometrie aus abbildungsgeometrischer Sicht beschäftigen. Hierzu gehen wir von einem abstrakten Bewegungsbegriff aus: eine Bewegung ist eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich. Dieser Begriff führt zu speziellen Bewegungen, den Geradenspiegelungen. Geradenspieglungen sind Bewegungen mit genau einer Fixgeraden. Diese Definition ist wunderbar griffig, doch für den Unterricht in der SI absolut ungeeignet. Wir werden damit zweigleisig fahren: Wie geht der Schulunterricht mit dem Begriff der Geradenspiegelung um und wie passt dieser Umgang mit dem abstrakten Begriff der Bewegung zusammen. Der nächste schulgeometrisch wichtige Begriff ist der der Drehung um einen Punkt. Hier werden unsere Untersuchungen dreigleisig:

• Drehung im Geometrieunterricht der SI,
• Drehung als Bewegung mit genau einem Fixpunkt,
• Drehung als Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen

Die Äquivalenz aller drei Betrachtungsweisen wird uns zwei Konferenzen lang beschäftigen. Der weitere Lehrstoff dürfte nicht schwer zu erraten sein: Verschiebungen. Auch hier drei Aspekte der Betrachtung:

• Verschiebung im Geometrieunterricht der SI,
• Verschiebung als Bewegung ohne jeden Fixpunkt und weitere zu findende Eigenschaft,
• Verschiebung als die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen.

Mit Geradenspieglungen, Drehungen und Verschiebungen haben wir alle in der Schule zu behandelnden Kongruenzabbildungen (Bewegungen) betrachtet. Die Umstrukturierung Ihrer diesbezüglichen Kenntnisse aus der Schule soll Ihr Wissen und können zu diesen Begriffen vertiefen und festigen und Sie für den entsprechenden Unterricht als Lehrer fit machen.
Im Sinne einer vollständigen Klassifizierung aller Bewegungen fehlt dann noch der Begriff der sogenannten Schubspiegelung. Wir werden uns dieser Klassifizierung über den sogenannten Reduktionssatz zuwenden: Jede Bewegung ist die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen. Falls Sie sich schon immer gefragt haben, warum in der Schule den Geradenspiegelungen weitaus mehr Raum als den Drehungen und Verschiebungen gegeben wird, der Reduktionssatz ist die fachwissenschaftliche Antwort auf diese Frage. Unter Verwendung des Reduktionssatzes werden wir dann im wesentlichen wie folgt klassifieren:

• Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen: Drehung oder Verschiebung
• Nacheinanderausführung von drei Geradenspiegelungen: einfache Geradenspiegelung oder Schubspiegelung

Obwohl wir keine analytische Geometrie betreiebn, werden die Überlegungen zur Klassifizierung der Bewegungen die Kraft algebraischer Methoden zeigen. Auf einmal wird alles wie Gleichungslehre aussehen.

Ähnlichkeitsgeometrie

Die Satzgruppe des Pythagoras wird klassischerweise in der Schule nach der Ähnlichkeitsgeometrie untersucht. Eine Ähnlichkeitsabbildung ist die Kopplung einer zentrischen Streckung mit einer Bewegung. Für den Begriff der zentrischen Streckung werden wir zunächst die Strahlensätze thematisieren. Diesbezüglich wird auch der Begriff der Inkommensurabilität zu behandeln sei. Für Ähnlichkeitsbbildungen, die keine Bewegungen sind, braucht man die zentrischen Streckungen. Aus Zeitgründen werden spezielle Kopplungen wie etwa Drehstreckungen nicht behandeln. Letztlich ist das auch nicht nötig, es reicht sich auf die zentrischen Streckungen zu konzentrieren und zu Untersuchen, was bei der Nacheinanderausführung zweier zentrischer Streckungen passiert. Die Untersuchungen werden letztlich in dem Hauptsatz der Ähnlichkeit münden: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln (und damit in allen drei Winkeln) übereinstimmen. Somit laufen unseren letzten Untersuchungen in ähnlicher Art und Weise, wie wir es bezüglich der Kongruenzgeometrie in der Einführung in die Geometrie getan haben.

Noch mal Satz des Pythagoras

Zu guter Letzt wenden wir die Ähnlichkeitsüberlegungen an, um den Satz des Pythagoras und die anderen Sätze der entsprechenden Satzgruppe zu beweisen. Damit haben wir dann auch die Art dieser Beweise betrachtet, wie sie mal für die Schule vorgesehen war.