Lösung von Aufgabe 7.5

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Lösung --Schnirch 09:39, 8. Jul. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Zwei konvexe Punktmengen $\ M1$ und $\ M2$ mit $\ P \in M1 \cap M2 \and Q \in M1\cap M2$
Behauptung: $M1 \cap M2$ ist konvex, d. h. $\overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\ P \in M1 \and Q \in M1$	$\ P$ und $\ Q$ sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge $\ M1 \cap M2$, also auch in $\ M1$
(II)	$\ P \in M2 \and Q \in M2$	$\ P$ und $\ Q$ sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge $\ M1 \cap M2$, also auch in $\ M2$
(III)	$\overline{PQ}\subseteq M1$	(I) und der Voraussetzung, dass $\ M1$ konvex ist
(IV)	$\overline{PQ}\subseteq M2$	(II) und der Voraussetzung, dass $\ M2$ konvex ist
(V)	$\overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2$	(III), (IV) und Definition Schnittmenge

vorangegangene Diskussion

Voraussetzung: M1 = konvexe Punktmenge und M2 = konvexe Punktmenge Behauptung: M1 geschnitten M2 = konvexe Punktmenge

Beweis:

Seien A und B zwei verschiedene Punkte, die so gewählt sind, dass gilt:

A ist Element von M1 und M2, B ist Element von M1 und M2 dh beide Punkte liegen in der Schittmenge.

1)Da M1 konvex, gilt, dass die Strecke AB Element von M1 ist.
2)Da M2 konvex, gilt gleichzeitig, dass die Strecke AB Element von M2 ist.
3)Weil 1) und 2) gelten, liegt die Strecke AB sowohl in M1 als auch in M2 und damit in der Schnittmenge.
Da A und B zwei beliebige Punkte der Schnittmenge waren, gilt die Behauptung.

Wieso

können wir annehmen, dass sowohl A als auch B Elemente beider Mengen sind? Mir ist der Satz IV.3 alles andere als klar. Natürlich müssen beide Mengen mindestens zwei Punkte haben, denn sie sind ja konvex. Aber wieso könnten das nicht bei M1 die Punkte A und B und bei Menge 2 die Punkte A und C sein. Damit wäre doch die Schnittmenge nicht konvex????? --Maude001 12:38, 15. Jun. 2010 (UTC)

Antwort: Wir nehmen nicht an, dass A und B Elemente beider Mengen sind, wir nehmen bewusst 2 Elemente aus der Schnittmenge. In der Schnittmenge muss mindestens ein Element enthalten sein, ansonsten würde die Schnittmenge nicht existieren. Wenn wir zeigen wollen, dass die Schnittmenge konvex ist, dann brauchen wir 2 Punkte, diese sind A und B. Wenn nur A in der Schnittmenge wäre, dann können wir nicht zeigen, dass es konvex ist. Wir können es nicht zeigen aber das heißt noch nicht, dass es NICHT KONVEX ist, also nehmen wir einen zweiten Punkt B. Den zweiten Punkt darf ich nehmen, weil ich in der Schnittmenge mindestens einen Punkt habe, dh 2 oder 3 usw

vielleicht ist dies eine bessere Antwort:

laut wikipedia gilt, dass die leere Menge und jede einelementige Menge konvex sind. Das heißt wir müssen nur für die Fälle beweisen, in denen im Durchschnitt mindestens 2 Elemente drin sind.

Ich würde 3 Fälle unterscheiden:

1) Der Durchschnitt ist die leere Menge = geht nicht

2) Der Durchschnitt enthält genau einen Punkt = ein Punkt ist immer konvex denn: der Abstand von einem Punkt zu sich selbst ist die leere Menge und die leere Menge ist Element einer jeden Menge, also auch der Menge dieses Punktes.

3) Der Durchschnitt enthält mehr als einen Punkt, sagen wir A und B = siehe Beweis oben

--Principella 00:53, 18. Jun. 2010 (UTC)
Es hat ein paar Wochen gedauert, aber ich glaube ich beginne es zu begreifen. Also, weil M1 und M2 konvexe Punktmengen sind, kann ich voraussetzen, dass A und B in der Schnittmenge liegen. Aber beweisen muss ich dann, dass die ganze Strecke von A zu B im Schnitt der Mengen M1 une M2 liegt, richtig? --Maude001 10:15, 25. Jul. 2010 (UTC)