Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur

Aufgabe 14.1

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck. $\ l_c$ sei die Lotgerade des Lotes von $\ C$ auf $\ AB$. $\ l_a$ sei die Lotgerade des Lotes von $\ A$ auf $\ BC$ und $\ l_b$ sei die Lotgerade des Lotes von $\ B$ auf $\ AC$. Man beweise: $\ l_c, l_a$ und $\ l_b$ haben genau einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufgabe 14.1

Aufgabe 14.2

Es sei $\ P$ ein Punkt aus dem Inneren des Winkels $\ \alpha$. Man beweise: $\ P$ ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden $\ w$ von $\ \alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils ein und denselben Abstand hat.

Lösung von Aufgabe 14.2

Aufgabe 14.3

Das Euklidische Parallelenaxiom findet man in einigen Lehrbüchern in der folgenden Formulierung: Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau eine Gerade $\ h$ mit $\ P \in \ g \land h \| g$. Warum genügt diese Formulierung des Euklidischen Parallelenaxioms nicht den Anforderungen, die an Axiome zu stellen sind?

Lösung von Aufgabe 14.3

Aufgabe 14.4

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck $\overline{ABCD}$ ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von $\overline{ABCD}$.

Lösung von Aufgabe 14.4

Aufgabe 14.5

Man beweise: Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn die Summe der Größen seiner gegenüberleigenden Innenwinkel 180° beträgt. Hinweis: Die "Hinrichtung" wurde für den Fall, dass der Mittelpunkt des Umnkreises im Inneren des Vierecks liegt in der Vorlesung vom 23.07. bewiesen. Der Fall, dass der Mittelpunkt des Umkreises nicht im Inneren des Vierecks liegt, lässt sich anlog beweisen. Die "Rückrichtung" beweist ,man am besten indirekt. Falls es gar nicht geht: [1]

Lösung von Aufgabe 14.5