Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 P (WS 21 22)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \| b \wedge b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .

b) Welche Eigenschaft der Relation $\|$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?