Halbebenen und der Satz von Pasch SoSe 22
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Halbebenen und der Satz von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
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Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden
dieser Ebene liegen, durch diese Gerade
eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von
bezüglich der Trägergeraden
. Der nicht zu
gehörende Referenzpunkt
bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich
mit
auf derselben Seite liegen, wird mit
bezeichnet, die andere offene Halbebene von
bezüglich
und
mit
.
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und
einer Ebene
auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden
liegen.
Definition II.1: (offene Halbebene)
- Es sei
eine Ebene in der die Gerade
liegen möge. Ferner sei
ein Punkt der Ebene
, der nicht zur Geraden
gehört.
Unter den offenen Halbebenenund
bezüglich der Trägergeraden
versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene
ohne die Gerade
:
- Es sei
Halbebenen
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.
Definition II.2: (Halbebene)
- Es sei
eine Gerade der Ebene
.
und
seien die beiden offenen Halbebenen von
bezüglich
. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von
bezüglich
versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von
bezüglich der Geraden
mit jeweils dieser Geraden
entstehen.
- Es sei
Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: , (geschlossene) Halbebene:
. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass
bzw.
immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
Definition II.3: Halbraum
Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt:
- Offener Halbraum
- Offener Halbraum
- Offener Halbraum
Der Satz von Pasch
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Satz II.1: Der Satz von Pasch
- Gegeben sei ein Dreieck
. Ferner sei
eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte
geht. Wenn
eine der drei Seiten des Dreiecks
schneidet, dann schneidet
genau eine weitere Seite des Dreiecks
.
- Gegeben sei ein Dreieck
Beweis des Satz von Pasch
Übungsaufgabe
Konvexe Punktmengen
Definition II.4: (konvexe Punktmenge)
- Eine Menge
von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten
und
dieser Menge die gesamte Strecke
zu
gehört.
- Eine Menge
Satz II.2
- Halbebenen sind konvexe Punktmengen
Beweis von Satz II.2
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
Satz II.3
- Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
Beweis von Satz II.3
Es seien und
zwei konvexe Mengen.
zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen und
ist auch konvex.