Lösung von Aufgabe 14.4
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Aufgabenstellung 1
Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.
Man beweise: Wenn ein Viereck ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von .
Voraussetzung
- Viereck
- Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): ist konvex.
- Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.
- Es gilt (oBdA):
- nach Skizze:
- An sich müsste bewiesen werden, dass und sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass und in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden liegen.
Behauptung
- Erklärung zu dieser Behauptung: wenn (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Dreieckskongruenz durch SSS
| |
(II) | ( ist Winkelhalbierende des Winkels | (I), Dreieckskongruenz: |
(III) | (II), (VSS) | |
(IV) | Dreieckskongruenz durch SWS
| |
(V) | (IV) |
Die Diagonale wird durch die Diagonale halbiert!
Zusatz-Aufgabe
Versuch 1
Voraussetzung: Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC
Behauptung: Strecke DB halbiert die Strecke AC
Beweis:
Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C
jeweils denselben Abstand haben.
Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand
zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.