Lösung von Aufgabe 14.4

Aufgabenstellung

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck $\overline{ABCD}$ ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von $\overline{ABCD}$.

Versuch 1

Voraussetzung

• Viereck $\overline{ABCD}$
• Es gilt wie bei Fall 1 (Skizze): $\overline{ABCD}$ ist konvex.

Der Beweis von Fall 2 - ein konkaver Drachen: Pfeilviereck - verläuft analog, oder zumindest ähnlich.

• Es gilt (oBdA): $\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{DC} \cong \overline{BC}$
• nach Skizze: $\ \overline{AC} \cap \overline{DB} = {S}$

An sich müsste bewiesen werden, dass $\overline{AC}$ und $\ \overline{DB}$ sich schneiden. Hier ein Verweis auf "Geschichten aus dem Inneren", bzw. die einfache Begründung, dass $\ D$ und $\ B$ in unterschiedlichen Halbebenen bezüglich zur Geraden $\ AC$ liegen.

Behauptung

$|AS| = \ |SC| \lor |BS| = |DS|$

Erklärung zu dieser Behauptung: wenn $\ S \in \overline{AC} \land \ S \in \overline{DB}$ (laut VSS) und die Endpunkte EINER Diagonalen (der Diagonalen-Strecke) zu S den selben Abstand hat, so wird die eine Diagonale von der anderen halbiert.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\overline{ADC} \cong \overline{ABC}$	Dreieckskongruenz durch SSS $\overline{AB} \cong \overline{AD}$ nach VSS $\overline{DC} \cong \overline{BC}$ nach VSS $\overline{AC} \equiv \overline{AC}$ trivial
(II)	$w_a \in \overline{AC}$ ($\ w_a$ ist Winkelhalbierende des Winkels $\ \alpha$	(I), Dreieckskongruenz: $\ \alpha_1 \cong \alpha_2$
(III)	$S \in w_a$	(II), $S \in \overline{AC}$ (VSS)
(IV)	$\overline{ADS} \cong \overline{ABS}$	Dreieckskongruenz durch SWS $\overline{AB} \cong \overline{AD}$ nach VSS $\alpha_1 \cong \alpha_2$ (I) $\overline{AS} \equiv \overline{AS}$ trivial
(V)	$|BS| \cong |DS|$	(IV)

Die Diagonale $\ \overline{DB}$ wird durch die Diagonale $\ \overline{AC}$ halbiert!

Versuch 2

Voraussetzung

Strecke AD kongrent zu Strecke AB und Strecke DC kongruent zu Strecke BC

Behauptung

Strecke AC halbiert die Strecke DB

Beweis

Betrachte die Mittelsenkrechte von DB. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten D und B jeweils denselben Abstand haben.
Laut Voraussetzung gilt, dass A denselben Abstand zu D und B hat, ferner hat C denselben Abstand zu D und B.
Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun A und C zu der Mittelsenkrechten der Strecke DB.
Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke AC die Strecke DB halbiert.

Zusatz-Aufgabe

Beweise, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen!