Lösung von Aufg. 6.4

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

1. Wenn A,B, C paarweise verschieden sind, dann sind die Punkte kollinear.

2. Voraussetzung: A,B,C sind nicht kollinear

  Behauptung: A,B,C sind paarweise verschieden

  Annahme: A,B,C sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A A=B

     Beweisschritt                                    Begründung

   1. A=B                                               Annahme

   2. Durch A und C geht genau eine Gerade              Axiom I/1

   3. A,B,C sind kollinear                              1.), 2.)

     Widerspruch zur Voraussetzung, damit ist die Annahme zu verwerfen und die Behauptung stimmt

3. Sind die Punkte A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie kollinear.

4. Voraussetzung: A,B,C sind nicht paarweise verschieden

  Behauptung : A,B,C sind kollinear

     
  Wenn A=B gilt, dann folgt nach Axiom I/1 dass es genau eine Gerade gibt, die durch die Punkte A und C verläuft. Damit liegen   

  A,B,C auf einer Geraden. Die Punkte sind kollinear.

5. Sind die Punkte A,B,C paarweise verschieden, dann sind sie nicht kollinear

6. Nein die Umkehrung gilt nicht für den Fall, dass A Element von g, B Element von g, C Element von g mit A ungleich B ungleich C
--Sommer80 08:49, 17. Nov. 2010 (UTC)