Lösung von Aufg. 6.6

Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden

2.

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar

   Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden

   Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D

• Wie kommt man auf C=D? Kann das leider nicht wirklich nachvollziehen

--> da wir annehmen, dass die vier Punkte nicht paarweise verschieden sind, bedeutet das, dass 2 Punkte identisch sind. Da es aber egal ist, wlche zwei Punkte das sind, nehmen wir hier einfach C=D an, schreiben aber hinzu: ohne Beschränkung der Allgemeinheit (oBdA)--DeFloGe 13:06, 23. Nov. 2010 (UTC)

     Beweisschritt                                     Begründung

   1. Es existierte genau eine Gerade g                Axiom I/1

      die die Punkte A und B enthält

   2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g         Axiom I/3

   3. A,B C sind nicht kollinear                       1), 2)

   4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält      Axiom I/4

   5. C = D                                            Annahme

   6. D ist Element der Ebene E                        5)

   7. A,B,C,D sind komplanar                           4), 6)

    Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

Vor. nkomp(A,B,C,D)
Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden
Ann. oBdA A=B

Beweisschritt [Begründung]
1. A=B [Annahme]
2. Es existiert eine Ebene E, die A,C,D enthält. [Axiom I/4]
3. A,B,C,D liegen in der Ebene. [1), 2)]
4. komp(A,B,C,D) [3), Definition komplanar]
5. Widerspruch zur Voraussetzung.

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Vor. nkomp(A,B,C,D)
Beh. A,B,C,D sind paarweise verschieden
Ann. oBdA A=B

Beweisschritt [Begründung]
1. A=B [Annahme]
2. Es existiert eine Gerade g, die A,C enthält. [Axiom I/1]
3. koll(A,C) [2), Definition kollinear]
4. koll(A,B,C) [3),1)]
5. Es existiert ein Punkt D, sodass nkoll(A,B,C,D) [4),Definition nichtkollinear]
6. Es existiert eine Ebene E, die A,B,C,D enthält. [5), Axiom I/4]
7. komp(A,B,C,D) [6), Definition komplanar]
8. Widerspruch zur Voraussetzung. --Jbo-sax 14:21, 26. Nov. 2010 (UTC)

3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar

4.

   Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D

   Behauptung: A,B,C,D sind komplanar
    
   Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C   
  enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar

5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar
--Sommer80 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)
6. Die Umkehrung stimmt nicht, da alle vier Punkte paarweise verschieden sein können, aber trotzdem Element der Ebene sind.--Engel82 13:04, 17. Nov. 2010 (UTC)