Lösung von Aufg. 8.1

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.

Lösung --Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset AB^+$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$ und $\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^* \in AB^+$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$	Axiom III.1
(II)	$\overline{AB^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(III)	$\left| AB^{*} \right| > \left| AB \right|$	Rechnen in $\mathbb{R}$ und $\pi$ > 1
(IV)	$\operatorname{Zw} \left( A, B, B^* \right)$	(I), (III), Def. Zw
(V)	$\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$	(IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: $\overline{AB}$
Beh: es existiert $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$;$\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.

1)$\overline{AB}$__________________________________laut Vor
2) es existiert g: $A \in g$ und $B \in g$_____Axiom I/1
3) es existiert ein Strahl AB+______________________Def. Strahl
4) Auf dem Strahl AB+ mit dem Anfangspunkt A______________________Axiom vom Lineal
existiert genau ein Punkt B* für den gilt:
$\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|$
5) Zw(A,B, B*), da $\pi$ größer als 1 ist gilt:_____________4)
$\overline{AB^{*}}$ größer als $\overline{AB}$
6)$\left| AB \right|$+ $\left|BB^{*}\right|$ =$\left|AB^{*}\right|$___________Def. Zw und 5
7)$\overline{AB}$ für die gilt: (P/ Zw(A,P,B)$\cup$(A,B)________________Def. Strecke und 6)
8)$\overline{AB^{*}}$ für die gilt:($\overline{AB}$$\cup$ (P/ Zw(B,P,B*))______Def. Strecke
9)$\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}$.
10)Behauptung stimmt--Engel82 19:14, 30. Nov. 2010 (UTC)

Rückfragen zu diesem Beweis:
Woher weiß man, dass die drei Punkte auf ein und derselben Halbgerade liegen? Ist das nicht schon die Behauptung?

das ergibt sich aus 3) und 4)--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)

Wozu dient Schritt 6)?
--Jbo-sax 14:48, 7. Dez. 2010 (UTC)

richtig, dieser Schritt ist überflüssig - siehe Lösung oben--Schnirch 14:00, 14. Dez. 2010 (UTC)