Lösung von Aufg. 8.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$ und $\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$.

Lösung --Schnirch 14:05, 14. Dez. 2010 (UTC)

Voraussetzung: Strecke $\overline{AB}\subset AB^+$
Behauptung: es existiert genau eine Strecke $\overline{AB^{*}}$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$ und $\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	es ex. genau ein Punkt $B^* \in AB^+$ mit $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$	Axiom III.1
(II)	$\overline{AB^{*}}$ existiert und ist eindeutig	(I), Def. Strecke
(III)	$\left| AB^{*} \right| < \left| AB \right|$	Rechnen in $\mathbb{R}$ und $\frac{1}{\pi}$ < 1
(IV)	$\operatorname{Zw} \left( A, B^*, B \right)$	(I), (III), Def. Zw
(V)	$\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$	(IV)

vorangegangene Lösungsversuche und Diskussionen

Vor: $\overline{AB}$
Beh: Es existiert $\overline{AB^{*}}$, $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$,$\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$.

1)$\overline{AB}$___________________laut Vor

2) es existiert ein Strahl AB+_________________Def. Strahl

3) es existiert genau ein Punkt B* auf_______________________Axiom vom Lineal
dem Strahl AB+ für den gilt: $\left| AB^{*} \right| = \frac{1}{\pi} \left| AB \right|$

4) $\pi$ ist größer als 1. daraus folgt_____________________Rechnen in R
$\frac{1}{\pi} kleiner als 1 ist, daraus folgt wiederum \left| AB^{*} \right|$ kleiner als $\left| AB \right|$

5) Zw(A,B*,B)____________________________4)

6)$\left| AB^{*} \right|$ + $\left| BB^{*} \right|$= $\left| AB\right|$_________Def. Zw 5)

7)$\overline{AB^{*}} :=(P\ Zw(A,P,B*))\cup (AB*)$________________Def. Strecke

8)$\overline{AB}$:= $\overline{AB^{*}}\cup$(P\ Zw(B*,P,B)$\cup (B)$ _____Def. Strecke

9)$\overline{AB^{*}} \subset \overline{AB}$_________________________7) und 8) --Engel82 17:55, 3. Dez. 2010 (UTC)

Die Lösung von Engel82 ist super ausführlich und auch korrekt!--Schnirch 14:04, 14. Dez. 2010 (UTC)