Lösung von Aufg. 7.4
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Vor: Ebene ,nkomp(A,B,C,D)
Beh: enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte
Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene trivial
Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene
,
1) , , und
2) ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)__________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4) ___________3)
5)________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) und ____________2) und 4)
7),,________6) und Axiom I/6
bleibt zu zeigen :
: , ,
: , ,
daraus folgt komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)
3.Fall:
1)__________________Axiom I/4 und Lemma 3
2)__________________Axiom I/4 und Lemma 3
3)________________da sonst A,B,C,D
Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von
enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
Fall 3